WWPKF - odpowiedź na pytanie nr 39

24 Sierpnia 2003

Pytanie nr 39 brzmiało:

Pewna planeta o deklinacji 24°35,7'S góruje w danym dniu o godzinie 21:15 CWE. Szerokość geograficzna miejsca obserwacji, to 54°22,7'N.

O której godzinie CWE wystąpił jej astronomiczny wschód?

O której godzinie CWE wystąpi jej astronomiczny zachód?

Z jakiej szerokości geograficznej widoczne będzie jej dołowanie?

Tak postawiony problem nie bardzo nadaje się do rozwiązania za pomocą programów komputerowych. Występuje tu wzięta z powietrza, niezidentyfikowana planeta. Mogło to też być jakieś inne ciało niebieskie (ale nie dowolne, rzecz jasna).

Moją intencją było uruchomienie szarych komórek Forumowiczom chcącym wziąć się z tym pytaniem za bary i niejako "wymuszenie" rozwiązania analitycznego.

Rozwiązanie:

Dowolne c.n. jest zawsze wierzchołkiem elementarnego trójkata sferycznego (nazywanego w tym przypadku trójkątem paralaktycznym) o pozostałych wierzchołkach w zenicie i tzw. widocznym biegunie niebieskim. Boki tego trójkąta, to:

- odległość zenitalna c.n.

z = 90°- h

- odległość biegunowa c.n.

p = 90°- Dec

- odległość bieguna od zenitu

b = 90°- F

W pytaniu chodzi o wschód i zachód astronomiczny. Nie ma więc problemu uwzględniania refrakcji atmosferycznej i obniżenia widnokręgu względem horyzontu.

Momenty wschodu i zachodu mają charakter symetryczny względem (podanego) momentu kulminacji na południku lokalnym.

Rzeczonym ciałem niebieskim nie jest Księżyc, więc można zaniedbać, powolną w tym wypadku, zmianę deklinacji.

Odległość kątową mierzoną wzdłuż równika niebieskiego pomiędzy południkiem lokalnym a punktem astronomicznego wschodu/zachodu c.n. nazywamy półłukiem dzienym (lub ładniej: połową łuku dziennego danego c.n.). Łuk dzienny, to równikowa odległość kątowa pomiędzy punktami wschodu i zachodu tego c.n. (ta część łuku dobowego, która znajduje się ponad powierzchnią horyzontu).

Skoro wysokość c.n. można wyrazić za pomocą wybranego twierdzenia z zakresu trygonometrii sferycznej, to ja proponuję moje ulubione twierdzenie cosinusa boku wypukłego trójkąta sferycznego:

cos (90°- h) = cos (90°- F) * cos (90°- Dec) + sin (90°- F) * sin (90°- Dec) * cos LHA

czyli

sin h = sin F * sin Dec + cos F * cos Dec * cos LHA

gdzie:

h - wysokość c.n.

F - szerokość geograficzna obserwatora

Dec - deklinacja c.n.

LHA - miejscowy kąt godzinny c.n.

Gdy ciało niebieskie wschodzi astronomicznie, to środek jego tarczy rzeczywistej leży w płaszczyźnie horyzontu astronomicznego, czyli wysokość tego ciała wynosi 0°. Wtedy możemy zapisać:

0 = sin F * sin Dec + cos F * cos Dec * cos LHA

Wspomniana wcześniej połowa łuku dziennego c.n., to nic innego jak LHA tego ciała.

Obliczmy więc długość tego półłuku (F i Dec są danymi w zadaniu):

- cos F * cos Dec * cos LHA = sin F * sin Dec

cos F * cos Dec * cos LHA = - sin F * sin Dec

cos LHA = - ( sin F * sin Dec ) / ( cos F * cos Dec )

cos LHA = - tg F * tg Dec

LHA = arc cos ( - tg F * tg Dec )

LHA = arc cos [ - tg ( -24°35,7' ) * tg 54°22,7' )

LHA = arc cos 0,638840237

LHA = 50,29460692

LHA = ok. 50,3'

(to zaokrąglenie nie ma żadnego wpływu na wynik zadania, ponieważ wprowadza błąd niespełna 2s, podczas gdy "normalnie" momenty zjawisk horyzontalnych podaje się z dokładnością +/- 1m)

Od momentu wschodu astronomicznego do momentu kulminacji (a potem od momentu kulminacji do momentu zachodu astronomicznego) ciało niebieskie, o którym mowa w zadaniu, pokonywać będzie łuk o długości 50,3°. Trwać to będzie:

dt = LHA / 15

dt = 50,3 / 15

dt = 3h 21m

Skoro moment kulminacji wyrażony w czasie CWE wypada o godzinie 21:15, to wschód i zachód nastąpią - co do minuty - odpowiednio o godzinach:

tw = 21:15 - 3h 21m = 17:54

tz = 21:15 + 3h 21m = 00:36 dnia następnego

Kulminację dolną tej planety zobaczą wszyscy leżący na południe of równoleżnika jednoimiennego z szerokością geograficzną:

f = 90° - |Dec|

f = 90° - |24°35,7'|

czyli

f = 65°24,3'S

Uwzględniając refrakcję na horyzoncie należałoby tę szerokość, tak jak zrobił to Sybic, zmniejszyć o wartość tej refrakcji (ok. 36').

Dziękuję Burzy, Robertowi B. i Sybikowi za udział w przybliżonym rozwiązaniu zadania.

24 Sierpnia 2003

El Capitano jestem przekonany, że podane przez Ciebie wzory i wyliczenia są poprawne. Wyjaśnij mi tylko dlaczego Guide z pomocą którego pracowałem ja i Burza oraz kalkulator Sybica podał inne dane.

Wschód: 17:51, 17:49, 17:48 Twój wynik 17:54

Zachód: 00:42, 00:41, 00:42 Twój wynik 00:36

Ja zamiast obliczeń poszedłem trochę na skróty. Wpisałem do Guida podaną przez Ciebie szerokość geograficzną i znalazłem gwiazdkę, która miała zadaną deklinację i górowała o 21:15. Potem sprawdziłem dane dla tej gwiazdki odnośnie wschodu i zachodu i podałem je jako odpowiedź.

24 Sierpnia 2003

Sybic miałby te same wyniki co ja, gdyby nie "wyskoczył" z wysokością -35' w przypadku zjawisk horyzontalnych mających charakter astronomiczny, czyli występujących w płaszczyźnie horyzontu astronomicznego. Powinien był przyjąć h = 0° i byłoby cacy.

Co do programów komputerowych. One (podobnie jak systemy operacyjne z Microsoftu) lubią traktować człowieka-użytkownika jak idiotę i próbują same za niego myśleć. Nie jestem specem od Guide'a, ale pewnie gdzieś tam jest możliwość ustawienia temperatury i ciśnienia atmosferycznego, bo program chce zrobić użytkownikowi dobrze i pięknie pokazać mu niebo przy udziale modelowanej programowo aktualnej refrakcji atmosferycznej (czyli prawdziwe niebo - tak jak je widać) - czy użytkownik tego chce, czy nie.

Zrób takie doświadzenie w swoim Guidzie, tak, jak ja to zrobiłem w swoim SkyMapie. Pewnie jakąś tam wersję SkyMapa masz. W SkyMapie: włącz siatkę współrzędnych horyzontalnych i najedź z zoomem na linię horyzontu. Zwróć uwagę na to jakich wysokości dotyczą poszczególne równoleżniki wysokościowe. Jest wysokość 1°. Jest wysokość -1°. Jest oczywiście też i wysokość 0°. Ale gdzie? Na pewno nie pośrodku pomiędzy 1° a -1°, tylko gdzieś na głębokości ok. 36' pod horyzontem astronomicznym, który w ogóle nie jest rysowany. Tak naprawdę, SkyMap pokazuje nie linię horyzontu, ale linię widnokręgu. O zgrozo! Nie można ustawić ciśnienia 0 hPa (żeby pozbyć się wpływu atmosfery ziemskiej), bo program pyszczy na "durnego" użytkownika, że ciśnienie musi być pomiędzy 800 a 1200 (!). Zauważyłem też, że o ile "mieszanie" ciśnieniem i temperaturą (w zakresie, w którym program łaskawie na to pozwoli) przynosi efekty w postaci wędrowania linii widnokręgu góra-dół, to zmiana wysokości obserwatora nad poziomem morza niczego nie daje. Wysłałem siebie na 5000 m, a widnokrąg, który powinien drastycznie się obniżyć nawet nie drgnął. Identycznie działają (zapewne!) pozostałe profesjonalne programy typu planetarium. No bo jak to tak, bez refrakcji??

Tak oto narzędzie matematyki, jakim jest informatyka, przejmuje powoli kontrolę nad człowiekiem. Co będzie później? Ano zobaczymy za parę dni na pierwszych divixach z Terminatorem III

Zwróć też uwagę, że wyniki z pierwszego zestawu (Burzy) nie są symetryczne względem momentu kulminacji. A powinny, gdyby wszystko było OK. Moje wyniki (17:54 i 00:36) po uśrednieniu dają równiutko 21:15 - podany w zadaniu moment kulminacji.

Twoje, Robercie, wyniki różnią się od moich po 5 minut w przeciwne strony. Są więc symetryczne i też dadzą (jak Sybikowi) kulminację o 21:15. U Ciebie jest to wpływ stałego przesunięcia dokonanego przez modelowaną w Guidzie refrakcję. U Sybica zadziałała "jego" wartość refrakcji wprowadzona (niepotrzebnie) przez Niego samego. U Burzy musiała zaistnieć jakaś drobna pomyłka w symulacji. Gdyby nie ona, miałby to samo, co Ty.

Pozdrawiam.