WWPKF - odpowiedź na pytanie 24b

[Gość]

Pytanie nr 24a brzmiało:

Gdzie dokładnie znajduje się punkt równowagi grawitacyjnej układu Ziemia-Księżyc?

 

Odpowiedź:

 

masa Ziemi: M = 5,973*10^24 kg

masa Księżyca: m = 7,35*10^22 kg

stosunek mas Księżyca i Ziemi: m / M = 1 / 81,26531 = 0,0123053736

maksymalna odległość Ziemia-Księżyc: 406700 km

minimalna odległość Ziemia-Księżyc: 356400 km

średnia odległość Ziemia-Księżyc: 384400 km

 

Skoro

 

F = G*M*m / r^2

 

gdzie:

G - stała powszechnej grawitacji

M i m - masy dwóch ciał

r - odległość pomiędzy nimi

 

D + d = S

 

gdzie:

S - odległość środków mas Ziemi i Księżyca

D - odległość p.r.g. układu od środka Ziemi

d - odległość p.r.g. układu od środka Księżyca

 

oraz

 

G*M*n / D^2 = G*m*n / d^2

 

gdzie:

M - masa Ziemi

m - masa Księżyca

n - masa ciała trzeciego znajdującego się w p.r.g. układu Ziemia-Księżyc

D - odległość p.r.g. układu od środka Ziemi

d - odległość p.r.g. układu od środka Księżyca

 

to ostatnie równanie dzielimy stronami przez G*n, otrzymując:

 

M / D^2 = m / d^2

 

Przyjmując za S = D + d wartość jednostkową, możemy zapisać układ równań:

 

D + d = 1

M / D^2 = m / d^2

 

Po jego rozwiązaniu (w podobny sposób jak w odpowiedzi na pytanie 24a), otrzymujemy:

 

D = ( M / m )^0,5 / [ 1 + ( M / m )^0,5 ]

 

Podtsaiwjąc masy Ziemi i Ksieżyca za M i m, otrzymujemy wartość 0,9001. Co nie powinno dziwić, skoro stosunek mas M i m jest ok. 81, a my de facto szukaliśmy takich dwóch liczb, których kwadraty mają się jak 81/1. Te liczby, to przecież 9 i 1. Przy jednostkowym założeniu odległości Ziemia-Księżyc, sa to liczby 0,9 i 0,1. Uwzględniwszy rzeczywisty stosunek mas M i m dostajemy precyzyjniejszą wartość D = 0,9001.

 

Dla maksymalnej, średniej i minimalnej odległości Ksieżyca od Ziemi odległości punktu równowagi grawitacyjnej od środka Ziemi przyjmują odpowiednio wartości:

 

366.070,7 km

345.998,4 km

320.795,6 km

 

(to ta ostatnia wartość występuje zazwyczaj w literaturze)

 

Od środka Księżyca będzie to odpowiednio:

 

40.629,3 km

38.401,6 km

35.604,4 km

 

Mc Arti podał wartości max i min: 40.600 km i 35.600 km. Gratuluję!