Metryka na sferze

[dobrychemik]

Czy ktoś bieglejszy ode mnie w kwestiach matematyczno-metrykalnych mógłby mi powiedzieć jak się liczy odległość kątową między dwoma punktami na sferze o zadanych współrzędnych R i D? Z dala od biegunów i przy małych kątach dobrym przybliżeniem jest płaska metryka i obliczenie z twierdzenie Pitagorasa, ale przy biegunach to już nie działa. Będę wdzięczny za pomoc.

Edytowane 22 Listopada 2019 przez dobrychemik

[szuu]

https://en.wikipedia.org/wiki/Great-circle_distance

[Behlur_Olderys]

33 minuty temu, dobrychemik napisał:

Czy ktoś bieglejszy ode mnie w kwestiach matematyczno-metrykalnych mógłby mi powiedzieć jak się liczy odległość kątową między dwoma punktami na sferze o zadanych współrzędnych R i D? Z dala od biegunów i przy małych kątach dobrym przybliżeniem jest płaska metryka i obliczenie z twierdzenie Pitagorasa, ale przy biegunach to już nie działa. Będę wdzięczny za pomoc.

Hasło "ortodroma" na Wiki albo "great circle distance" na angielskiej.

 

Ogólnie wzór jest dosyć prosty, choć nikt nie lubi odwrotnych funkcji trygonometrycznych....

 

Alternatywnie, skorzystaj z metryki na sferze: całkując jej pierwiastek w granicach od początkowych do końcowych kątów. Powinien wyjść ten sam wzór

 

[dobrychemik]

Metoda z całkowaniem może przyda się w wypadku, jakby się okazło, że niebo tak naprawdę ma geometrię cylindryczną albo toroidalną, a nie sferyczną. Na razie biorę wzór z wikipedii. Dzięki za pomoc.

[lkosz]

Możesz użyć współrzędnych sferycznych przy całkowaniu, ale jednak są prostsze metody

Edytowane 22 Listopada 2019 przez lkosz

[szuu]

a jak ktoś nie lubi ani całkowania ani trygonometrii ani wikipedii to można na chama przeliczyć współrzędne do układu kartezjańskiego i już mamy odległość między punktami która ma co prawda tylko jedną zaletę, ale za to jaką: rozumiemy skąd wzięła się formuła której używamy

[bartoszw]

6 godzin temu, dobrychemik napisał:

Czy ktoś bieglejszy ode mnie w kwestiach matematyczno-metrykalnych mógłby mi powiedzieć jak się liczy odległość kątową między dwoma punktami na sferze o zadanych współrzędnych R i D? Z dala od biegunów i przy małych kątach dobrym przybliżeniem jest płaska metryka i obliczenie z twierdzenie Pitagorasa, ale przy biegunach to już nie działa. Będę wdzięczny za pomoc.

Masa wzorów ulega znacznemu uproszczeniu po konwersji współrzędnych sferycznych na kartezjańskie, czyli przekształcamy sobie rektascencję i deklinację na punkt [x, y, z] leżący na powierzchni sfery o promieniu 1. Ja w swoich programach astronomicznych wszystkie obliczenia wykonuję w układzie kartezjańskim, a współrzędne sferyczne (rektascencja/deklinacja, azymut/wysokość itd.) to tylko "produkt końcowy" dla użytkownika. Wzory na konwersję są następujące:

x = cos(RA) * cos(Dec)
y = sin(RA) * cos(Dec)
z = sin(Dec)

 

Mając parę punktów [x1, y1, z1], [x2, y2, z2] cosinus odległości kątowej to po prostu:

cos(δ) = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2.

 

Oczywiście odległość kątowa między dwoma punktami to arcus cosinus powyższego wzoru.

Edytowane 22 Listopada 2019 przez bartoszw