Tesserakt - Hiperszescian

[Pabami]

http://www.youtube.com/watch?v=l_jKXFSgZAQ

 

 

 

 

 

 

genialne

[Ori2711]

... no to można sobie wyobrazić, że z prędkością swiatła..ale to nie jest dobre wyobrażnie, mocno nieprecyzyjne. No bo ta oś jest ortogonalna do kazdej osi przestrzennej, i to w tej pseudoeuklidesowej przestrzeni. Ta pseudoeuklidesowość bierze się z tego, że interwał musi być niezmiennikiem "obrotów" układów odniesienia.

 

Ryszardo ale przyspieszyłeś , czuję się tak jak student który przespał semestr i przyszedł na ostatni wykład a tu profesor zapodał takie zdanie jak Ryszardo... ciemność, ciemność widzę...

 

 

 

pozdrawiam

 

Ori

[Ori2711]

http://www.youtube.com/watch?v=l_jKXFSgZAQ

 

 

 

 

 

 

genialne

 

Ten pierwszy link i drugi Pabami nasuwa mi nieodzowną refleksję, że wyższa matematyka, a w szczególności topologia, to odlot bez koki czy innej amfy. Co nie zmienia oczywiście faktu, że matma jest genialna.

 

pozdrawiam serdecznie

Ori

Edytowane 21 Lipca 2008 przez Ori2711

[ryszardo]

eee, nieee.... no to jest w zasadzie proste. Chodzi o to, że np. twierdzenie Pitagorasa wyznacza metrykę "rzeczywistej "przestrzeni euklidesowej (dwuwymiarowej). Niezaleznie od tego, jak ten trójkąt umieścimy w przestrzeni ( na kartce papieru), to c^2 będzie proporcjonalne do a^+b^. I tak dla dowolnej liczby wymiarów, będzie a^2+...b^2+... ( n składników dla n-wymiarów). Ponieważ w rzeczywistym Wszechświecie istnieje prędkość maksymalna i jest to prędkość swiatła, to równanie powierzchni sfery ( albo kwadrat odległości na jaką dotrze foton w czasie t z początku układu odniesienia można zapisać:

c^2t^2 = x^2+y^2+z^2, albo krócej: c^2t^2=z^2. Mozna też napisać s^2=c^2-z^2 i jest tożsamościowo =0 dla fotonu. A wię interwał (odległość czasprzestrzenna dla fotonu) jast zawsze zerowy!. Ale dla mniejszych prędkości ds^2= (ct)^2-z^2. I w tej metryce sin^2 a + cos^2 b=1 nie jest prawdą. Prawda jest taka:

sinh^2 a - cosh^ b = 1!!!.

Dlatego E = mc^2, wybuchaja bomby atomowe itp..

edit

Kurcze, idę spać to chyba jednak nie jest proste... ale piękne!

Edytowane 21 Lipca 2008 przez ryszardo

[Ori2711]

eee, nieee.... no to jest w zasadzie proste. Chodzi o to, że np. twierdzenie Pitagorasa wyznacza metrykę "rzeczywistej "przestrzeni euklidesowej (dwuwymiarowej). Niezaleznie od tego, jak ten trójkąt umieścimy w przestrzeni ( na kartce papieru), to c^2 będzie proporcjonalne do a^+b^. I tak dla dowolnej liczby wymiarów, będzie a^2+...b^2+... ( n składników dla n-wymiarów). Ponieważ w rzeczywistym Wszechświecie istnieje prędkość maksymalna i jest to prędkość swiatła, to równanie powierzchni sfery ( albo kwadrat odległości na jaką dotrze foton w czasie t z początku układu odniesienia można zapisać:

c^2t^2 = x^2+y^2+z^2, albo krócej: c^2t^2=z^2. Mozna też napisać s^2=c^2-z^2 i jest tożsamościowo =0 dla fotonu. A wię interwał (odległość czasprzestrzenna dla fotonu) jast zawsze zerowy!. Ale dla mniejszych prędkości ds^2= (ct)^2-z^2. I w tej metryce sin^2 a + cos^2 b=1 nie jest prawdą. Prawda jest taka:

sinh^2 a - cosh^ b = 1!!!.

Dlatego E = mc^2, wybuchaja bomby atomowe itp..

 

 

 

s to u Ciebie droga, tak?

a funkcje trygonometryczne są wykeślane pomiędzy poczatkiem układu odniesienia a punktami na sferze, tak?

próbuje sobie to jakoś poukładać...

Edytowane 21 Lipca 2008 przez Ori2711

[misiekc]

Tak w kontekscie tych wielu wymiarow. Kiedys napisalem sobie program, o ktorym nieco wiecej jest tu . Zainteresowanych zapraszam do zabawy.

 

Edit:

poprawilem linka: nie wiem czemu to forum tlumaczy slowa "a s t r o m a n i a k . p l" na "astrokrak.pl/forum". Musialem wpisac te spacje bo by mi przetlumaczylo

Edytowane 21 Lipca 2008 przez misiekc

[Ori2711]

Tak w kontekscie tych wielu wymiarow. Kiedys napisalem sobie program, o ktorym nieco wiecej jest tu: http://www.astrokrak.pl/forum/viewtopic.php?p=22085#p22085 . Zainteresowanych zapraszam do zabawy

 

 

 

Mi nie działa . Help misiekc.

[Kuba J.]

Tak przypatruję się Waszej dyskusji i doszedłem do wniosku, że mało rozumiem z tego, ale jednak rozumiem. Wszystkim zainteresowanym polecam książkę Michio Kaku "Hiperprzestrzeń". Zapewne w Bibliotekach Publicznych ją znajdziecie. Warto przeczytać i to nie tylko fragment o Tessarakcie. Daje do rozmyślania . No i jest napisana przystępnym językiem.

 

Pozdro.

[misiekc]

... I w tej metryce sin^2 a + cos^2 b=1 nie jest prawdą. Prawda jest taka:

sinh^2 a - cosh^ b = 1!!!. ...

Tak tylko w kwestiach porzadkowych. Sinus i cosinus to funkcje matematyczne i sa niezalezne od metryki. W kazdej metryce wiec sin^2 a + cos^2 a = 1 (rozumiem, ze z ta zmiana a i b to zwykla literowka). Natomiast tutaj chodzi o cos innego. Zwykle obroty w przestrzeni Euklidesowej sa realizowane wlasnie za pomoca funkcji sin i cos. Np. majac punkt o wspolrzednych (x, y) i obracajac go w okol osi umieszczonej w punkcie (0, 0) o kat a otrzymamy punkt (x cos a + y sin a, -x sin a + y cos a). Natomiast obrot w przestrzeni Minkowskiego pomiedzy wymiarami przestrzennymi i czasowymi odbywa sie wlasnie z wykorzystaniem sinusa hiperbolicznego i cosinusa hiperbolicznego, a same wzory sa niemal identyczne jak dla podanego przykladu. Stad tez bierze sie okreslenie czasoprzestrzen - wymiary przestrzenne i czas mozemy mieszac ze soba (obracac obiekty w czasoprzestrzeni). Dlatego nie ma pojecia czy jednoczesnosci zjawisk, czy tez zjawisk zachadzacych w tym samym miejscu - bo po obrocie (czyli w innym ukladzie odniesienia) okaze sie, te zjawiska nie beda zachodzily jednoczesnie czy tez w tym samym miejscu. Jesli natomiast dwa zjawiska zajda w tym samym miejscu i czasie to oczywiscie zaden obrot tego nie zmieni.

 

Ori, zainstaluj Jave (http://www.java.com)

[ryszardo]

Misiekc, wszystko prawda co napisałeś! Oczywiście sin i cos to unkcje matematyczne, ale "jedynka" z metryką ma już związek. Dzięki,że uznałes "a" i "b" za literówkę...Pozdrawiam!

Aaa.. i jeszce co do tych obrotów, chodzi o to, ze dowolne przekształcenie ( w danej przestrzeni liniowej), może byc przedstawione jako złożenie właśnie obrotów.

Edytowane 22 Lipca 2008 przez ryszardo

[Merak]

...ale ciągle miliłem że 4 wymiarem jest czas, aj jest nim przestreń, dzieki ryszardo za nakierowanie

Myliłeś albo i nie - ja bym tego nie nazwał tego pomyłką. Geometrycznie i lokalnie, czas to taki sam wymiar jak każdy inny. Różnica jest fizyczna - w przestrzeni możemy się poruszać (w zasadzie) swobodnie, w czasie jesteśmy unoszeni w jednym kierunku (chcąc nie chcąc i to wraz z całą przestrznią).

 

Nie widzę konieczności stosowania w tym temacie mistyki ani też pachnącej mistyką nazwy tesserakt.

 

Kostka (jednostkowa) n-wymiarowa to po prostu produkt kartezjański n odcinków jednostkowych [0;1]:

[0;1] x [0;1] x ... x [0;1] = [0;1]^n.

Pomocne dla wyobraźni jest przedstawienie kostki 4D jako produktu (iloczynu) kartezjańskiego zwykłej kostki 3D (tj. sześcianu) przez odcinek:

[0;1]^4 = [0;1]^3 x [0;1].

 

Kłopot polega na tym, że w każdym punkcie kostki 3D trzebaby dostawić ten odcinek ortogonalnie (prostopadle) do każdego z jej 3 wymiarów, a na to nie ma miejsca w przestrzeni 3D - brak własnie tego 4-go wymiaru. Jedną z protez jest dorysowywanie tych odcinków skośnie do wszystkich krawędzi kostki 3D, o tak:

To niedoskonała proteza, bo powstają dodatkowe przecięcia odcinka 4-boku z innymi punktami kostki 3D, których w istocie nie ma.

 

Dlatego lepszą i b. pomocną protezą czwartego wymiaru przestrzennego jest czas. Wyobraźmy sobie sześcian, który powstaje (creatio ex nihilo) w momencie t=0 i trwa nieprzerwanie do momentu t=1, kiedy to natychmiast znika. To będzie właśnie hipersześcian - kostka 4D. W tym przedstawieniu rolę odcinka 4-boku, dostawionego ortogonalnie do danego punktu sześcianu, pełni rolę linia czasu tego punktu (od chwili od t=0 do t=1). Taka linia czasu danego punktu nie przecina się z żadnym innym punktem sześcianu (i o to chodzi). Nie znam bardziej namacalnego wyobrażenia hipersześcianu 4D.

 

Czy teraz lepiej to widać?

[Merak]

Pewną słabą intuicję co do własności kostki n-wymiarowej może dać porównanie jej z kulą n-wymiarową. Kostka n-wymiarowa ma 2^n wierzchołków czyli rogów (a jej brzeg tworzy 2n kostek n-1 - wymiarowych, robiących za hiper-ściany). Można więc powiedzieć, że z rosnącym wymiarem kostka robi się piekielnie szybko "rogata".

Jak bardzo rogata? Porównajmy ją z kulą n-wymiarową o środku w początku układu kartezjańskiego i promieniu R=1. Będzie to zbiór punktów x=(x1, x2, ..., xn) przestrzeni n-wymiarowej odległych od początku układu max. o 1, tj. spełniających warunek:

x1^2+x2^2+...+xn^2 <= 1

 

Żeby wysłowić puentę muszę wprowadzić oznaczenia:

|B(n)| - (hiper-)objętość kuli n-wymiarowej o promieniu R=1

|C(n)| - (hiper-)objętość kostki n-wymiarowej o boku A=2

Kostka ma bok równy 2 ażeby można było wpisać w nią kulę jednostkową (tj. o średnicy D=2).

Dla n=1 obie figury się pokrywają (są odcinkiem [-1; 1]). Dla n=2 kwadrat jest "większy" od wpisanego weń koła o 4 rogi. Dla n=3 sześcian jest "większy" od wpisanej weń kuli o 8 rogów.

 

Można wyprowadzić ogólne wzory na ww objętości. Okaże się wówczas, że granica stosunków objętości dąży do zera przy rosnącym wymiarze:

|B(n)| / |C(n)| -> 0 gdy n-> oo

Z wymiarem rosnącym do nieskończoności kostka n-wymiarowa robi się tak rogata i tak duża, że wpisana weń kulę znika!

Jak to dobrze że nie postrzegamy wyższych wymiarów, ciężko byłoby to znieść

[Merak]

...

Nie widzę konieczności stosowania w tym temacie mistyki ani też pachnącej mistyką nazwy tesserakt.

...

Wyobraźmy sobie sześcian, który powstaje (creatio ex nihilo) w momencie t=0...

Cholerka, a jednak bez choćby odrobiny mistyki po prostu nie da się w tym temacie!

[ryszardo]

A myslałem, że temat umarł, ale się mistycznie wskrzesił!

Merak! Twój przykład z hiperszescianem pojawiającym się ex nihilo z nicości i podobnie znikający jest bardzo ciekawy, ale właśnie doskonale pokazuje różnicę między prawdziwym, przestrzennym wymiarem, a psudoprzestrzennym wymiarem czasowym. To co opisujesz, jest zanurzeniem ( w tym wypadku "postawieniem na przestrzeni...) czterowymiarowego hipersześcianu w przestrzeń trójwymiarową i widzianego z tej przestrzeni przez nas. To zanurzenie trwa przez okres od ex nihilo ( włożenia) do zniknięcia ( wyjęcia) hipersześcianu z naszej przestrzeni. Czas jest wspólny w obu przestrzeniach!