Rzeczywisty (obliczeniowy) kąt widzenia

[MarekS99]

Powiększenie to iloraz ogniskowej teleskopu do ogniskowej okularu. Kąt własny okularu podzielony przez powiększenie daje rzeczywisty kąt widzenia całego układu optycznego. Poszukuję rysunku który pokazuje właśnie konstrukcję tego wypadkowego kąta. Czy ktoś się może natknął?

[Marcin_G]

Zacznijmy od tego, że z powiększeniem i polem widzenia nie jest tak prosto. Ściśle ujmując, powiększenie n razy oznacza, że tangens połowy kąta widzenia wzrośnie n razy. W przypadku lornetek różnice między polem widzenia obliczonym ze wzoru uproszczonego i tangensowego są całkiem spore.

A rysunek, w najprostszej formie, to byłoby jakoś tak:

[MarekS99]

Ten rysunek pokazuje tylko samo powiększenie i też nie jest poprawny do końca. Z prostych zależności kątowych mozna je wyliczyć. W zasadzie upraszcza sie do znalezienia zaleznosci ze stosunek ogniskowej teleskopu do okularu daje powiększenie. Ale mi chodzi o kolejny wzór. Kąt wlasny okularu dzieli się przez powiększenie i uzyskuje rzeczywisty kąt widzenia i jego graficzne przedstawienie.

Edytowane 22 Kwietnia 2022 przez MarekS99

[MarekS99]

To chyba to :

http://optics.udjat.nl/eyepiece1.htm

[Mareg]

W ramach samoedukacji zrobiłem sobie taki oto rysunek, jako wstęp do Sacka z liku wyżej:

 

 

Obiektyw i okular są krańcowo uproszczone jako cienkie pojedyncze soczewki. Rysowałem w skali i w nawiasach są podane użyte wartości liczbowe.

Aby zmniejszyć ilość linii na rysunku, pokazany jest tylko jeden skrajny promień (linie przerywane), tak że zaznaczone kąty są kątami połówkowymi.
Do klasycznych promieni dodałem ten zaznaczony fioletową linią kropkowaną, który to przechodzi przy brzegu diafragmy polowej okularu (średnica 2s) i pada prostopadle na okular, tak że za okularem przechodzi on przez ognisko.
Patrząc na ten właśnie promień, możemy obliczyć tangens połówkowego kąta pola widzenia okularu:

 

tg(j) = s / f                           (1)

 

Teraz patrząc na przykład na czerwony "osiowy promień" i jego przerywany odpowiednik biegnący na skraju diafragmy polowej, możemy zapisać tangens połówkowego kąta pola widzenia obiektywu, czyli całego teleskopu:

 

tg(F) = s / F                         (2)

 

Zatem stosunek tangensów obu kątów jest równy powiększeniu teleskopu p i wynosi:

 

p = tg(j) / tg(F) = F / f       (3)

 

Dla małych kątów tg(j) / tg(F) ≈ j / F i stąd szukany kąt pola widzenia teleskopu najczęściej przybliża się jako

 

 F ≈ j / p                             (4) 

 

Dla użytych na rysunku parametrów p = 15 a j = 38°, więc przybliżony połówkowy kąt pola widzenia teleskopu wynosi 2.5°.

Dokładny wzór na pole teleskopu można wyliczyć przekształcając wzór (3):

 

F = arctg[ tg(j) /  p ]         (5)

 

co dla parametrów na rysunku daje 3°, więc różnica w porównaniu do przybliżonego wzoru jest dość spora (≈ 16 %).

Przyznaję, że nie zdawałem sobie sprawy że sławny wzór (4) jest takim przybliżeniem. W czasach stustopniowych (i więcej) okularów kąt pola widzenia i jego tangens nie są już tak bardzo sobie równe.

 

Dla porządku jeszcze związek pomiędzy aperturą (źrenicą wejściową) i źrenicą wyjściową (twierdzenie Talesa np. dla "ciągłych" promieni czerwonego i zielonego przed i za diafragmą polową):

 

1/2 D / F = 1/2 d / f            (6)

 

stąd

 

D / d = F / f = p                  (7)

 

 

Edytowane 24 Kwietnia 2022 przez Mareg