Zadanko z matematyki

Elunia · 17 Czerwca 2005

Banalne zadanko, a jednak...

W klasie wyszły nam conajmniej dwa wyniki. Nie powiem jakim sposobem. Rozwiążcie i powiedzcie co wam wyszło i napiszcie też z jakiego twierdzenia albo w jaki sposób to policzyliście.

Oczywiście mi wyszło dobrze :lol: tylko nie rozumiem mam mogło wyjść kilka różnych wyników poprawnymi metodami :huh:

Treść zadania:

Dwa styczne zewnętrznie okręgi są zarazem styczne do ramion kąta 120 stopni. Odległość środków tych okręgów od wierzchołka kąta to 2cm i 6cm. Oblicz promienie okręgów.

Piniu · 17 Czerwca 2005

W jpg'u się nie dało zamieścić?? :blink:

mateusz · 17 Czerwca 2005

Hej,

Odpowiem na Twój problem tak, jak mój profesor z algebry abstrakcyjnej zwykł mawiać podczas ćwiczeń z tego przedmiotu:

Gdzie w tym zadaniu jest jakaś trudność??

Otóż tak... Treść tego zadania jest źle sformułowana, ponieważ nie ma w niej informacji, że punkty - środek okręgu pierwszego, środek okręgu drugiego i wierzchołek kąta są współliniowe. Bez tej wskazówki, którą dopiero odkryłem po analizie załączonego przez Ciebie pliku, zadanie nie ma rozwiązania z powodu braku danych...

Jeżeli przyjąć założenia z rysunku, to rozwiązanie brzmi następująco: promień mniejszego okręgu: 3^(1/2) i większego 3*3^(1/2).

Na szczęście geometria euklidesowa i jej aksjomaty gwarantują wewnętrzną niesprzeczność i zupełność, więc fakt, iż dostaliście dwa różne dobre wyniki świadczo o tym, że pewnie jeden z Was (nie wiem dokładnie o kim teraz mówię ) albo najprościej w świecie nie ma racji albo sięgnął do geometrii Łobaczewskiego

Pozdro

Piniu · 17 Czerwca 2005

(...)
Jeżeli przyjąć założenia z rysunku, to rozwiązanie brzmi następująco: promień mniejszego okręgu: 3^(1/2) i większego 3*3^(1/2).

(...)

Mnie wyszło tak samo (liczyłem na sin)

mały promień: sin(60)=r/2 => pierwiastek z 3

DUŻY promień: sin(60)=R/6=> R=6*sin(60)=3* pierwiastek z 3

Lampka · 17 Czerwca 2005

I ja nie znajduję możliwości istnienia innego rozwiązania od powyżej zapisanego.

McArti · 17 Czerwca 2005

ciekawe dlaczego wasze promienie nie dają w sumie 6-2=4

ja wiem dlaczego, bo źle rozwiązaliście zadanie. :rolleyes:

ciekawe czemu nikt nie zauważył że przy takim ustawieniu okręgów promienie mają się do siebie jak 2/6 co już jednoznacznie determinuje kąt pomiędzy stycznymi i niejest to wogóle 120st. :szczerbaty:

sytuacja na rysunku jest niemożliwa do zrealizowania.

BBwro · 17 Czerwca 2005

Hej,

Otóż tak... Treść tego zadania jest źle sformułowana, ponieważ nie ma w niej informacji, że punkty - środek okręgu pierwszego, środek okręgu drugiego i wierzchołek kąta są współliniowe. Bez tej wskazówki, którą dopiero odkryłem po analizie załączonego przez Ciebie pliku, zadanie nie ma rozwiązania z powodu braku danych...

To można tak wpisać w kąt dwa okręgi, żeby ich środki i wierzchołek kąta nie były współliniowe??? Przecież tak się robi bisekcję kąta i ta bisekcja nie zależy, że tak powiem, od miejsca, w którym przyłożymy cyrkiel.

Wg mnie najcelniej trafił McArti. Twierdzenie Talesa i od razu widać, że R/r = 6/2.

Edytowane 17 Czerwca 2005 przez BBwro

Elunia · 17 Czerwca 2005

To może powinnam ochrzanić swoją matematyczkę :lol: .

Jeśli robi się zadanie z funkcji trygonometrycznych rzeczywiście wychodzi pirwiastek z 3 i 3 pierwiastki z 3. Ale jeśli się to zrobi z twierdzenia Talesa albo z podobieństwa trójkątów wychodzi jak nic 1 i 3 :blink: (tam można zrobić trójkąty o kątach 30, 60 i 90 stopni i z tego policzyć przeciwprostokątną) .

Otóż tak... Treść tego zadania jest źle sformułowana, ponieważ nie ma w niej informacji, że punkty - środek okręgu pierwszego, środek okręgu drugiego i wierzchołek kąta są współliniowe. Bez tej wskazówki, którą dopiero odkryłem po analizie załączonego przez Ciebie pliku, zadanie nie ma rozwiązania z powodu braku danych...

Skoro te okręgi leżą wewnątrz kąta to chyba muszą być współliniowe, a muszą być wewnątrz kąta bo inaczej nie byłyby styczne to OBU ramion.

ciekawe czemu nikt nie zauważył że przy takim ustawieniu okręgów promienie mają się do siebie jak 2/6 co już jednoznacznie determinuje kąt pomiędzy stycznymi i niejest to wogóle 120st

Dlaczego taki stosunek wyklucza możliwość, że kąt ma miarę 120 stopni?

ciekawe dlaczego wasze promienie nie dają w sumie 6-2=4

ja wiem dlaczego, bo źle rozwiązaliście zadanie.

Z założenia że suma obu promieni wynosi 4 właśnie wyszłam.

Piniu · 17 Czerwca 2005

Normalnie kocham podchwytliwe zadanka :wacko:

BBwro · 17 Czerwca 2005

Dlaczego taki stosunek wyklucza możliwość, że kąt ma miarę 120 stopni?
Z założenia że suma obu promieni wynosi 4 właśnie wyszłam.

R/r = 6/2 z Talesa

R+r = 4

z tego R=3 i r=1

czyli, dla dużego trójkąta, 3/6 = sin alfa (gdzie alfa to połowa tego niby 120* kąta)

czyli alfa = 30* a cały kąt ma 60* a nie 120*.

Elunia · 17 Czerwca 2005

R/r = 6/2 z Talesa
R+r = 4

z tego R=3 i r=1

czyli, dla dużego trójkąta, 3/6 = sin alfa (gdzie alfa to połowa tego niby 120* kąta)

czyli alfa = 30* a cały kąt ma 60* a nie 120*.

Ahaaa :Boink: No to jej wygarnę, co to za zagadki nam tu daje, wielka teoretyczka. Moja wychowawczyni to najmniej ścisły matematyk jakiego w całym swoim życiu miałam nieprzyjemność poznać.

Dzięki chłopaki. Nawet nie wiecie jak mnie to gryzło. Może z niechęci do twórczyni zadania.

BBwro · 17 Czerwca 2005

I tak oto mamy piękną ilustrację twierdzenia, że z fałszywych przesłanek można wyprowadzić dowolne fałszywe wnioski. Co, nie wiem, czemu, przypomina mi inną dyskusję na tym forum, w którejś ścierałem się z jednym z tu obecnych... :Salut:

Proponuję konkurs, ile jeszcze innych rozwiązań (różnych niż r=1, R=3 i r=sqrt(3), R=3*sqrt(3)) można znaleźć.

Lampka · 17 Czerwca 2005

No tak, człowiek liczy bezmyślnie nie sprawdzając, czy dane są dobre...

:blink:

Edytowane 17 Czerwca 2005 przez Lampka

McArti · 17 Czerwca 2005

schamacik graficzny rozwiązania

McArti · 17 Czerwca 2005

I tak oto mamy piękną ilustrację twierdzenia, że z fałszywych przesłanek można wyprowadzić dowolne fałszywe wnioski. Co, nie wiem, czemu, przypomina mi inną dyskusję na tym forum, w którejś ścierałem się z jednym z tu obecnych...

radze Ci baaaardzo uważać, bo niewiem czy zauważyłeś, że zrobiłeś tu założenie, które tylko Ty uważasz za słuszne.

ps. 3 i 1 oczywiście też jest źle.

BBwro · 17 Czerwca 2005

radze Ci baaaardzo uważać, bo niewiem czy zauważyłeś, że zrobiłeś tu założenie, które tylko Ty uważasz za słuszne.

Masz na myśli matematykę, czy skojarzenie?

ps. 3 i 1 oczywiście też jest źle.

Oczywiście, skoro zadanie jest sprzeczne. To był, powiedzmy, dowód nie wprost: zakładamy, że zadanie jest ok, rozwiązujemy zgodnie z regułami, dochodzimy do sprzeczności z założeniem, czyli zadanie jest sprzeczne wewnętrznie.

McArti · 17 Czerwca 2005

skojarzenie ma jednoznaczny posmak oczywistej pomyłki jednej ze stron

przypominam, że zakładasz, że możesz się mylić pilnuj tego, to recepta na nieomylność

zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie pomijając ten absurdalny rysunek.

BBwro · 17 Czerwca 2005

skojarzenie ma jednoznaczny posmak oczywistej pomyłki jednej ze stron

cóż, nie odpowiadam za swoje skojarzenia, tak samo jak za swoje sny.

przypominam, że zakładasz, że możesz się mylić pilnuj tego, to recepta na nieomylność

Dobre! :Beer:

zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie pomijając ten absurdalny rysunek.

A tu już mnie zaciekawiłeś na dobre. Jak można to narysować inaczej i mieć jednoznaczne rozwiązanie?

McArti · 17 Czerwca 2005

no dałem rysunek pare postów wyżej ....

BBwro · 17 Czerwca 2005

no dałem rysunek pare postów wyżej ....

Aaa, to. A ja się zastanawiałem, co to za malarstwo jaskiniowe...

Ale moim zdaniem, powinno być wówczas w treści coś w rodzaju "układ dwóch kół jest zarazem styczny do ramion". Tak jak jest napisane, "dwa styczne zewnętrznie okręgi są zarazem styczne do ramion kąta", sugeruje, imho, że oba okręgi są styczne do obu ramion".

Ale kto wie. I co Ci wówczas wychodzi?

McArti · 17 Czerwca 2005

nic patrze się i sie zastanawiam jak do tego rachunkowo dojść

ps. puchar europy oglądam (łem) i jakoś nie moge sie skupić :rolleyes:

coś z równań okręgów i prostych bym wychodził

McArti · 17 Czerwca 2005

r/2=sin a

R/6=sin c

a+b+c=120st

(R+r)^2 = 6^2 + 2^2 - 2*6*2*cos b

powyższe należy odpowiednio wymieszać i liczyć, że się nie wszystko uprości :szczerbaty:

ps. ble coś równań za mało

Edytowane 17 Czerwca 2005 przez McArti

Merak · 18 Czerwca 2005

Banalne zadanko, a jednak...

No własnie, banalne... ale nie uprzedzajmy faktów i zacznijmy od początku.

Mateusz był blisko - właściwie wypowiedział kluczowy fakt, że:

środki wszystkich okręgów stycznych do ramion kąta leżą (i kwiczą) na wspólnej pólprostej przechodzącej przez wierzchołek kąta.

Okrag z tej rodziny można jednoznacznie określić przez odległość L jego środka od wierzchołka kąta albo przez jego promień R. Rzeczywiście, jeśli miara kąta wynosi 2a to z tw. sinusów: R = sin(a)L

Np. dla a = 60* i L=2 mamy R = [sqrt(3)/2]*2 = sqrt(3)

Tak więc Mateusz był blisko ale przeoczył fakt, że zignorował warunek wzajemnej styczności okręgów i to co wyliczył to było coś takiego:

Większy okrąg można przesunąć stycznie do mniejszego ale przestanie być styczny do ramion kąta... no chyba że w przestrzeni Łobaczewskiego :rolleyes:

Uff zmęczyłem sie trochę...

Merak · 18 Czerwca 2005

Z kolei McArti spróbował nadać sens temu, pożal sie Boze, "zadaniu" interpretując styczność do ramion kąta nie jako styczność każdego z okręgów, ale jako styczność figury będącej sumą mnogościową 2 stycznych zewnętrznie okręgów. Ale tak też coś nie halo...

Rzeczywiścieno, takie zadanie nie jest jednoznaczne - ma (nieskończenie) wiele rozwiązań.

Na załączonym obrazku widać że zarówno niebieska jak i czerwona para okręgów spełnia warunki tak rozumianego zadania. A promienie np. większych (analog. - mniejszych) okręgów różnych kolorów są różne!

c.d.n.

Merak · 18 Czerwca 2005

Skoro interpretacja McArtiego, skądinąd sensowna, nie daje nam szansy na jednoznaczne rozwiązanie, powróćmy do interpretacji pierwotnej - okręgi sa wpisane w dany kąt.

Jak to już stwierdzilismy, tak sformułowane zadania jest sprzeczne!

Rzeczywiście, wiemy że oba środki okręgów i wierzchołek kąta leżą na wspólnej prostej. Jeśli znamy odległości L środków okręgów od wierzchołka kąta, to znamy jednoznacznie ich promienie R = sin(a)*L (dla kąta 2a). Ale przy L1=2 i L2=6 okręgi te - jak łatwo zauważyć - nie chcą być zewnętrznie styczne (a przynajmniej nie w przestrzeni euklidesowej).

Pozostaje własciwie tylko domysł, co poetka mogła mieć na myśli (Och, wszystko przez ten pośpiech!). Otóż chyba tylko to, że:

Mamy dany okrąg wpisany w pewien dany kąt (np. znamy odległość L1 centrum od wierzchołka). Znaleźć: okrąg wpisany w ten kąt, zewnętrznie styczny do okręgu danego (np .znależć jego odległość L2=L).

Rozwiązanie - oczywiście jednoznaczne - ponizej (uwaga oznaczenia: L2=L)

W szczególności dla L1=2 i kąta 60* dostajemy L około 27,8 (więc troszkę wiecej niż 6) :banan: