Geometria różniczkowa i Einstein

[Behlur_Olderys]

Cześć,

Chciałbym pokrótce przedstawić zarys matematycznej teorii w dużej mierze stojącej za sukcesem Ogólnej Teorii Względności.

Już na wstępie uspokajam: postaram się załatwić sprawę bez skomplikowanych wzorów, ale też nie będę nic wymyślał z głowy - wszystko można znaleźć w podręcznikach.

 

Co ciekawe, temat jest bardzo intuicyjny dla ludzi zajmujących się geodezją, nawigacją czy kartografią, gdyż wyznaczanie kierunków na kuli Ziemskiej to jeden z najprostszych, nietrywialnych problemów w których rozwiązaniu przydaje się geometria różniczkowa.

 

A zatem zastanówmy się, jak opisujemy nasz świat

Istnieją różne miejsca na całym globie: miasta, wioski, góry, rzeki. Chcielibyśmy komuś o tym opowiedzieć, przekazać tą wiedzę, zapisać ją.

Oprócz zobaczenia ich na własne oczy jest jeszcze opcja: zrobić mapę. Mapa to sposób na przedstawienie punktów w przestrzeni w jakiś bardziej zorganizowany, jednoznaczny sposób. Mapa przypisuje każdemu punktowi jakieś liczby - współrzędne. Dla każdego miejsca na mapie są one unikalne, zatem możemy mówić, że pojechaliśmy do Nowego Jorku, ale możemy też powiedzieć: pojechaliśmy do współrzędnych 40N 74W i będzie to jednoznaczne. Zatem już nie musimy planować podróży opierając się na wspomnieniach czy opowieściach, ale wystarczy mapa. Pierwszy sukces matematyki na użytek podróżników!

Sam sposób wyznaczania tej mapy jest zasadniczo obojętny - odwzorowanie walcowe, stożkowe, Mercatora, koniec końców sprowadzają się do przypisania pewnych punktów na fizycznej powierzchni Ziemi do ciągów liczb określających punkty na mapie.

 

Druga sprawa: droga pomiędzy miejscami. Możemy polecieć samolotem, autostradą, pójść na piechotę. Nasza trasa będzie fizyczną linią na powierzchni ziemi, na przykład malowana ciągniętym za nami pędzlem z farbą. Na mapie będzie to jakaś krzywa, albo tor ruchu, jak kto woli. Co bardzo ważne, nawet tą samą trasę np. autostradą A4 można przejechać z prędkością 60km/h, a można też pędzić 200km/h. Zatem krzywa musi mieć wpisaną zależność od czasu - jest funkcją współrzędnych na mapie od czasu podróży. Dzięki temu zapis podróży wspomnianą autostradą z różnymi prędkościami to różne krzywe, mimo że na mapie ich wykres będzie wyglądał tak samo. Mając jakąś krzywą, czyli zapis czasowy podróży, możemy powiedzieć: o 11:00 byłem w Krakowie, a o 13:00 byłem już we Wrocławiu. Dodaliśmy zatem czas do naszych rozważań i dostaliśmy bardzo praktyczny sposób planowania podróży: wyznaczanie krzywych na mapie. Kolejny sukces!

 

Teraz bardzo nieintuicyjna rzecz. Wektory.

Jeśli przejdę jeden krok i narysuję kreskę pomiędzy położeniami moich stóp, to będzie ona miała zwrot, kierunek, długość i punkt przyłożenia. Gimnazjalna definicja wektora! Ale tak na serio, po co nam wektor? W fizyce pewne rzeczy zależą od wektorów. Prawa mechaniki czy elektrodynamiki wyrażają się za pomocą wektorów, bo istotne jest na przykład nie tylko, jak mocno strzelasz z armaty, ale też pod jakim kątem do Ziemi. Magnes przyciąga żelazo tylko w jedną stronę: w swoją stronę

Z punktu widzenia podróżnika wektor to z drugiej strony taki odcinek skierowany: między jednym krokiem a drugim będziemy mieli wektor. A co to za wektor?

Ten jeden krok odbył się w pewnym czasie i miał jakiś tor na powierzchni, jest więc krzywą. Dosyć krótką i raczej prostą, ale krzywą z definicji, pojęciowo Wektor który stworzyliśmy wyznacza w sposób intuicyjny naszą prędkość w momencie stawiania kroku. Można wyobrazić sobie, że stawiając 100 kroków tworzymy 100 wektorów, każdy związany z określonym czasem i miejscem, a zatem dla każdego punktu na krzywej (współrzędne na mapie + czas) mamy wektor prędkości.

Co tu jest takiego nieintuicyjnego?

Wektory nie leżą w tej samej przestrzeni, w której leżą punkty, które je wyznaczają.

Jeśli jesteśmy na powierzchni Ziemi i patrzymy przed siebie, wzdłuż linii wyznaczonej przez nasz malutki krok, to co widzimy? Cel podróży?

Nie. Widzimy gwiazdy Albo, jeśli akurat jest dzień lub chmury, to widzimy niebo. Nie ziemię.

Gdyby wziąć krok i iść cały czas po prostej, po linii wzroku, to po kilku kilometrach musielibyśmy oderwać się od powierzchni. Ziemia jest zakrzywiona.

Wektor wyznacza więc jakiś kierunek, ale nie na mapie, tylko gdzieś poza mapą. Tylko na płaskiej kartce można rysować strzałki pomiędzy punktami i dodawać współrzędne, żeby dostać nowe punkty. Na powierzchni Ziemi dodając wektor do naszego położenia wyszlibyśmy poza Ziemię. To bardzo ważne.

 

Potrzebny nam jest mechanizm, który pozwoli trzymać cały czas ten sam kierunek. Kompas pokazuje zawsze północ. Ale okrążając Ziemię wzdłuż równika kompas będzie obracał się względem Twojego ciała, mimo że Tobie będzie się wydawało, że idziesz cały czas prosto przed siebie.

Geometria różniczkowa daje nam narzędzia które pozwalają powiedzieć w jaki sposób będą zmieniać się nasze obserwacje w takiej sytuacji, jak sobie radzić, gdy nie jesteśmy punktem na kartce, ale człowiekiem na kulistej powierzchni Ziemi.

 

Jaka trasa będzie najkrótsza? Jak będzie wyglądała na mapie? O ile przekręci się strzałka kompasu? W którą stronę obrócić się, żeby patrzeć w stronę Mekki? Jakie gwiazdy będę widział tuż nad horyzontem w Rzymie, a jakie na Krymie? Na wiele podobnych pytań odpowiada geometria różniczkowa. Teraz będzie bardzo skomplikowanie.

 

Wprowadzamy pojęcie koneksji. Jest to wielkość która mówi: Jeśli przejdę kawałek na północ, to o ile stopni muszę podnieść lunetę, żeby dalej była skolimowana na gwiazdę Polarną. Wydaje się proste? I tak, i nie. Pytanie jest proste i intuicyjne, ale ile tutaj zmiennych!? Będąc w tym samym miejscu chciałbym mieć informację: o ile stopni w lewo, o ile w górę, jak pójdę na północ, a jak pójdę na wschód, a jak chcę mieć skolimowaną na Aldebarana, to co wtedy? (I to nawet, gdy przyjmiemy, że Ziemia się nie obraca, bo obracająca się Ziemia to już w ogóle hardkor, proszę na razie założyć, że stoi ona w miejscu )

A nas interesuje tylko prosty przekaz: o ile stopni podnieść/obniżyć, o ile stopni przekręcić na wschód/zachód. Jest to jeden wektor. Żeby go określić, musimy znać dwa inne wektory: na co patrzymy? (wektor kierunku na naszą gwiazdę), oraz: w którą stronę się poruszamy (wektor kierunku naszej podróży). Koneksja zatem mówi nam o tym, jak połączone są nasze obserwacje w jednym punkcie z obserwacjami w drugim punkcie. Myślę, że każdy astronom-obserwator intuicyjnie załapie pojęcie koneksji

 

Ale z drugiej, mniej intuicyjnej strony, możemy odwrócić rozumowanie:

Wyobraźmy sobie, że nasze stopy, styczne w danym momencie do powierzchni Ziemi np. w Warszawie, wskazują w danym punkcie np. Syriusza. Gdy przejdziemy z Warszawy do Aten, to cały czas możemy widzieć Syriusza. Na przykład ustawiliśmy guiding w teleskopie na super statywie, i możemy ciągnąć jedno ujęcie jadąc dostatecznie mało trzęsącym środkiem transportu. Jeśli teraz skorzystamy z koneksji, to wiedząc, ile się przemieściliśmy, w którym kierunku, i jaki był nasz początkowy punkt odniesienia, możemy powiedzieć: teraz kilka stopni poniżej kierunku "na Syriusz", kilka stopni w lewo znajdują się nasze stopy.

Jeśli chcielibyśmy przejść gdzieś najkrótszą drogą to mamy prostą receptę: patrzymy się cały czas na jedną gwiazdę (w praktyce Polarną, bo się nie rusza). Korzystamy z koneksji i obliczamy kierunek, który w miejscu, gdzie zaczynaliśmy, był kierunkiem "na wprost". I płyniemy tam! Mniej więcej na takiej zasadzie opierała się nawigacja morska przed epoką radia i GPSów. Znając koneksję i stały punkt odniesienia możemy odnaleźć się na mapie nawet po środku morza na krzywej Ziemi płynąc po dowolnie skomplikowanej trasie.

 

Już zbliżamy się do Einsteina!

 

Koneksja mówi o zmianach wektorów wraz z poruszaniem się po powierzchni. Jeśli zmienia się wektor prędkości, to mówimy o przyspieszeniu. A zatem koneksja wyznacza przyspieszenie, jakie będzie odczuwalne przez kogoś, kto porusza się po pewnym torze.

Teraz wkracza Einstein i mówi: no tak, ale masa bezwładnościowa jest równa grawitacyjnej! Zatem grawitacja to jakiś rodzaj przyspieszenia! A skoro grawitacja jest przyspieszeniem, to musi być ujmowana w koneksji!

Już w płaskiej przestrzeni widzimy, że jednorodna grawitacja jest nieodróżnialna od przyspieszenia w windzie.

Być może więc w jakiejś bardzo dziwnej przestrzeni, niepodobnej ani do kuli ani do stożka, istnieje taka koneksja (znając dowolność matematyki nietrudno sobie wyobrazić, że istnieje na pewno, choćby czysto teoretycznie), powierzchnia zakrzywiona, w której przyspieszenie podczas podróżowania przez nią będzie takie same, jak np. centralna grawitacja planety. Okazuje się, że wcale nie jest to jakaś bardzo dziwna przestrzeń. Czasoprzestrzeń, którą Einstein postulował kierowany obserwacją niezależności prędkości światła od obserwatora świetnie pasuje do tego modelu. Ale nie zwykła, płaska czasoprzestrzeń, tylko zakrzywiona! Jest czterowymiarowa, więc mamy dużą dowolność w zakrzywianiu.

 

Einstein widział tutaj pole do popisu, ale potrzebujemy więcej precyzji niż stwierdzenie: koneksja to grawitacja. Bo skąd się bierze koneksja? Jak ją obliczyć?

Jeśli rzeczywiście czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, to co jest powodem tego zakrzywienia?

 

Małe wtrącenie na boku:

A skąd wiadomo, że Ziemia rzeczywiście jest krzywa? A jeśli tak, to jaki ma promień? Koneksja zależy też od współrzędnych, jakie obraliśmy sobie na mapie: dla kartezjańskich x,y,z będzie inna niż dla azymut/wysokość, mimo, że będzie opisywała tą samą Ziemię. A może Ziemia jest stożkiem albo walcem? Łatwo sobie wyobrazić, że na stożkowej Ziemi również trzeba byłoby ustawiać teleskop na Polarną pod różnymi kątami w różnych miejscach. Na takie pytania łatwo odpowiedzieć będąc np. w kosmosie, ale stojąc na Ziemi? Można też odpowiedzieć na te pytanie za pomocą czystej matematyki, jeśli tylko znamy koneksję!

Należy przeprowadzić następujący eksperyment:

Każemy jednemu astronomowi jechać najpierw 30km na północ, a potem 30km na wschód.

Drugi astronom wykonuje polecenia w odwrotnej kolejności: najpierw na wschód, potem na północ.

Niech teraz oboje powiedzą, gdzie są, i jak zmienił się kierunek na Gwiazdę Polarną.

Gdyby byli na płaskiej kartce papieru, spotkali by się w tym samym punkcie.

Gdyby byli na powierzchni walca, stałoby się to samo.

Ale na powierzchni kuli jest to już niemożliwe. "Rozjadą się". Mam nadzieję, że każdy rozumie, dlaczego? Na równiku trzeba 40000 km, żeby przejść przez wszystkie południki. Na biegunie wystarczy krótki spacer wokół słupka Zmiana współrzędnych geograficznych podczas podróży zależy od tego, po jakiej trasie się poruszamy.

Myślę, że powinno to być jasne dla każdego astronoma

Wracając do tych, którym kazałem wykonywać dziwne polecenia: różnica, między tym, jak jeden i drugi będą patrzeć np. na Gwiazdę polarną, może być opisana przez tensor Riemanna. Jest to wielkość która - intuicyjnie - odpowiada właśnie na takie pytanie. Mamy trzy wektory: jeden skierowany na północ, drugi na wschód, trzeci na Gwiazdę Polarną. Tensor Riemanna mówi nam: dla tych trzech wektorów różnica w ustawieniach teleskopów pomiędzy naszymi astronomami poruszającymi się tak, jak opisałem, będzie dokładnie wyznaczona pewnym nieskomplikowanym wzorem definiującym krzywiznę Ziemi. Tensor Riemanna zależy tylko od koneksji i od jej pochodnych, ale to szczegóły matematyczne, mało istotne.

 

Tensor to obiekt geometryczny, który nie zależy od tego, jakiej używamy mapy. Przez to może mieć znaczenie fizyczne.
Jak to rozumieć?

Metrowy pręt będzie miał tą samą długość, niezależnie czy zmierzymy 1000mm czy 100cm.

Trójkąt będzie równoboczny obojętnie, czy komenda rysująca go na komputerze wykorzystuje grafikę wektorową czy rastrową.

Paryż i Lwów będą cały czas w tym samym miejscu na Ziemi obojętnie czy weźmiemy mapę Mercatora czy walcową.

Świat fizyczny nie zależy od tego, jakie sposób wymyślimy, żeby go pojąć matematycznie.
Tensory ukazują zatem niejako pewną niezmienność świata fizycznego od naszych opisów.

Jeśli we współrzędnych kartezjańskich obliczymy tensor Riemanna dla walca i wyjdzie nam zero, to możemy być pewni, że zmieniając współrzędne na kuliste dojdziemy do tego samego wyniku. Dlatego tensory są użyteczne - możemy sobie wybrać współrzędne, w których łatwiej się liczy Podane tensorowo wzory są zawsze poprawne. A przecież np. 2 zasada Newtona w układzie kartezjańskim i kulistym to zupełnie inne wzory! Nie jest bowiem równaniem tensorowym. Za to równania Einsteina nigdy nie zmieniają postaci, bo są tensorowe. Pokazują nie tylko matematyczną sztuczkę, jaką zastosowaliśmy, żeby można było coś policzyć, ale też ukazują rzeczywisty związek między pewnymi fizycznymi wielkościami.

 

Jeśli ktoś jeszcze się nie znużył - gratulacje, i 100% szacunku! Jesteśmy coraz bliżej końca!

 

W bardzo dużym uproszczeniu można powiedzieć, że tensor Riemanna może się zmieniać. Czy nie za dużo tego wszystkiego?

Zaczęliśmy od tego, że wraz z przemieszczaniem się po kuli Ziemskiej zmienia się np. położenie Gwiazdy Polarnej. Opisuje to koneksja.

Sama koneksja może zmieniać się wraz z przemieszczaniem się - opisuje to tensor Riemanna.

Wreszcie tensor Riemanna TEŻ może się zmieniać, choć jest to szalenie trudne do wyobrażenia, i nie potrafię już zastosować jakiejkolwiek analogii.

Niemniej, istnieje pewna wielkość geometryczna związana z tensorem Riemanna, która się nie zmienia wraz z poruszaniem się po dowolnie wymiarowej, dowolnie zakrzywionej przestrzeni. Jest to tzw. Tensor Einsteina. Najważniejsze jest to, że Einstein zauważył, że jest to tensor niezmienny w dowolnie zakrzywionej przestrzeni. A przecież w fizyce jest już taka wielkość: zawsze zachowana, niezmienna obojętnie od układu i tego, czy liczymy ją na powierzchni Ziemi czy w kosmosie. Wielkość ta to uogólniona energia. Dla każdego miejsca w przestrzeni można przypisać pewną wielkość zwaną tensorem energii. (w skrócie, są różne nazwy tego tensora). Tensor energii jest wielkością, która obrazuje zasadę zachowania energii, masy i pędu znane z fizyki już w gimnazjum.

Pomijając w tym momencie jakąkolwiek ścisłość, Einstein pomyślał tak:

Tensor energii jest niezmienny, podobnie jak mój tensor (Einsteina). Muszą więc być powiązane, najlepiej równe!

Równania Einsteina:

to nic innego tylko tensorowy zapis: tensor Einsteina jest równy tensorowi energii z dokładnością do stałej G i kilku innych stałych skalujących + stała kosmologiczna lambda (jej istnienie jest wymagane przez matematykę, a wartość - dowolna, do potwierdzenia eksperymentalnie).

 

Oczywiście, ja też mógłbym wymyślić jakiś swój tensor i powiedzieć: równanie wszechświata mówi, że mój tensor, tensor Bartka, jest równy tensorowi energii. Ale jest jedna drobna różnica. Okazuje się, że przy założeniu, że nie mówimy o zbyt dużych prędkościach ani gęstościach (tzn. poruszamy się dużo wolniej niż światło a gęstość jest mniejsza, niż w gwieździe neutronowej) to z równania Einsteina wynika jasno... newtonowska grawitacja! To nie każdemu mogłoby się udać.

A zatem energia bezpośrednio zakrzywia czasoprzestrzeń, a przynajmniej bazując na takim rozumowaniu osiągamy fantastycznie dokładne wyniki: GPS-y, precesję Merkurego, fale grawitacyjne. Wszystko, co spada na Ziemię nie jest przyciągane przez żadną tajemniczą siłę, a jedynie porusza się po prostej linii w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jak zakrzywionej? Można to łatwo policzyć!

Bierzemy jakiś rozkład energii czy też masy, np. gwiazdy. Wiadomo: w środku duża gęstość, oddalając się od środka coraz mniej, a na zewnątrz gwiazdy to w ogóle nie ma ani masy, ani zbyt dużo energii (pomińmy wiatr gwiezdny). Z takiego rozkładu energii konstruujemy tensor energii, nieważne, jak, ale konstrukcja jest jednoznaczna.

 

Teraz wsadzamy tą wartość do wzoru po prawej stronie a po lewej dostajemy od razu gotowy tensor Einsteina. Można z niego wyciągnąć tensor Riemanna i sprawdzić, czy nasza przestrzeń jest krzywa czy nie. Można też wyciągnąć koneksję i sprawdzić, jak będą wyglądały pomiary. Jednym słowem - mamy wszystko. Chcemy policzyć cały wszechświat? Nie ma sprawy! Po prawej stronie "wsadźmy" zakładaną przez nas gęstość wszechświata, a z lewej wyjdzie nam, że się rozszerza, lub stoi w miejscu lub się kurczy - zależnie od stałej kosmologicznej! Przepis prosty jak kluski śląskie!
Oczywiście, obliczeniowo wszystko jest SZALENIE skomplikowane, ale zasady są jasne i proste.

 

Pozdrawiam, i czekam na jakieś ciekawe komentarze!

 

PS. Ciekawe, jak bardzo przypomina to wywody pseudonaukowców/filozofów/proroków?

W tekst mogły wkraść się nieścisłości i uproszczenia, także proszę o korektę, jeśli ktoś uważa, że jest źle/niezrozumiale.
Trzeba jakieś obrazki? Jakieś wzory?

 

[Adalbert]

Polecam w tym temacie: Roger Penrose "Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem" lub polskie książki szczególnie autorstwa Michała Hellera.

Edytowane 1 Kwietnia 2016 przez Adalbert

[ekolog]

Dzięki.

I nawet da się jakoś wytłumaczyć swobodne spadanie ciał, tą teorią, mimo że wstępnie ma ono względnie prędkość zero. ZbyT mi to kiedyś potwierdził. Bo to, że taki satelita lata po geodezyjnej prostej (z jego punktu widzenia) to dość intuicyjne. Ale to, że spadamy gdy znika podpora to już magia

 

Pozdrawiam

Edytowane 1 Kwietnia 2016 przez ekolog

[ryszardo]

Całkiem przyjemne . A ja się zapętliłem ( tak zresztą przypuszczałem) na wyliczeniu tego ciśnienia z wirtualnych grawitonów.....nadzieje daje to, że wiadomo czego się spodziewać.

Aha, lambda nie jest wymagana z matematycznego punktu widzenia, nie zawiera innych stałych skalujących, a historia wprowadzenia stałej kosmologicznej jest znana, więc nie ma co pisać. A tak w nawiasie - Friedman był meteorologiem?

[Behlur_Olderys]

Aha, lambda nie jest wymagana z matematycznego punktu widzenia, nie zawiera innych stałych skalujących, a historia wprowadzenia stałej kosmologicznej jest znana, więc nie ma co pisać.

 

Jest wymagana z tego samego powodu, co dowolna całka nieoznaczona jest podawana z dokładnością do stałej. Nie ma mowy o jej wartości dodatniej czy ujemnej, czy zerowej, ale musi być w równaniu

[ryszardo]

 

Jest wymagana z tego samego powodu, co dowolna całka nieoznaczona jest podawana z dokładnością do stałej. Nie ma mowy o jej wartości dodatniej czy ujemnej, czy zerowej, ale musi być w równaniu

Zgadza się! - w tym sensie jak najbardziej. Przyznaję bez bicia, że nigdy tych stałych nie przepisywałem, przez co w zasadzie ograniczałem klasę rozwiązań. Właśnie uświadomiłeś mi, że muszę sobie zrobić niezłą powtórkę!...