Kiedyś uważano (błędnie), że Ziemia obraca wokół osi się ze stałą prędkością, a definicja sekundy związana była bezpośrednio z ruchem obrotowym Ziemi; zresztą nie było zegarów wystarczająco dokładnych, żeby wyłapać różnice. Kiedy zbudowano zegary atomowe i możliwy stał się pomiar czasu z dokładnością dużo wyższą niż za pomocą zegarów mechanicznych, to jasne stało się, że ruch obrotowy Ziemi nie tylko nieustannie zwalnia, ale do tego nie całkiem jednostajnie. Sekundę definiowano wcześniej po prostu jako 1/86400 część średniej doby słonecznej - a skoro doby trwają różnie, to sekunda też musi siłą rzeczy mieć różną długość w różnym momencie (czyli kiedyś doba słoneczna, a więc i wywiedziona z niej sekunda, trwała krócej niż dziś).
Obecnie definicja sekundy jest niezależna od ruchu obrotowego Ziemi, więc dziś każda sekunda trwa tyle samo. Niemniej jednak doba cywilna ma wciąż stałą długość 86400 sekund i rozjeżdża się ze średnią słoneczną o ok. 16 μs rocznie. Trzeba więc brać na to poprawki - i od tego właśnie są te równania; dodatkowo podaje się też współczynnik uwzględniający fakt, że Księżyc oddala się od Ziemi.
Czyli generalnie chodzi o przełożenie czasu słonecznego na czas urzędowy, głównie po to, by dokładnie ulokować w czasie zaćmienia Słońca/Księżyca. Jak widać w zależności od wybranego równania, wyniki potrafią się sporo różnić, przeważnie równania te są właściwe tylko dla jakiegoś konkretnego okresu (np. ten domyślnie używany przez Stellarium jest właściwy miedzy rokiem -1999 a 3000). Rozwiązaniem takiego równania jest ΔT, definiowane jako ΔT = TT − UT; gdzie TT - czas ziemski, UT - czas uniwersalny.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Czas_ziemski
https://pl.wikipedia.org/wiki/Czas_uniwersalny
https://en.wikipedia.org/wiki/ΔT
A jak ustalić, który jest najlepszy? Nie wiem, chyba najlepiej po prostu obserwować i mierzyć czas. Swoją drogą, może to być całkiem ciekawym ćwiczeniem - ustalić kiedy dokładnie nastąpi pierwszy kontakt podczas tegorocznego tranzytu Merkurego wg czasu urzędowego (z dokładnością powiedzmy do 1s), z uwzględnieniem położenia geograficznego obserwatora i porównać obserwacje z wynikami dawanymi przez różne algorytmy korekcji czasu, choćby właśnie w Stellarium.