Mały dowód matematyczny (wakacyjne nudy):
Dane są dwa obiekty A i B o rozmiarach a i b, przy czym proporcja rzeczywistych wymiarów wynosi:
P = a/b. [1]
Wykonujemy zdjęcie aparatem umieszczonym w punkcie O obiektów ułożonych w taki sposób, że obiekt A znajduje się w odległości x od aparatu, a obiekt B jest oddalony od A jeszcze o d.
To znaczy, odległość B od aparatu to x + d.
Załóżmy, że a < b (obiekt A jest mniejszy niż B ), z czego wynika, że P < 1 i wyraża, jaką część wielkości obiektu B stanowi obiekt A.
Proporcja pozorna R, jaką uzyskamy po zrobieniu zdjęcia będą wynikała z kątów, jakie utworzą projekcje obu obiektów na matrycy.
Wyraża ona jaką część pozornej wielkości obiektu B będzie miał obiekt A na zdjęciu.
Oznaczmy literkami greckimi α kąt utworzony przez obiekt A, i analogicznie β - przez obiekt B.
Proporcja pozorna na zdjęciu wyniesie:
R = α/β [2]
Sytuacja przedstawiona jest na rysunku:
Trójkąt utworzony przez oś poziomą i wysokość a jest prostokątny (zawsze można tak założyć, jeśli obiekty są kulami), zatem tangens kąta α wynosi a / x.
Podobnie, tangens kąta β wynosi b / (x + d). Używając funkcji odwrotnych otrzymujemy wyrażenia na kąty:
α = atan( a/x )
β = atan( b/ (x+d) )
Wstawiając je do wzoru [2] obliczamy pozorną proporcję:
R = atan( a/x ) / atan( b/ (x+d) ) [3]
Notabene: ogniskowa aparatu nie ma tutaj najmniejszego znaczenia, może ona jedynie decydować o rozległości pola widzenia, czy też o wypełnieniu kadru, ale nie o proporcjach.
Decydują tylko odległości i wielkości obiektów, o czym mówi wzór [3].
Wzór [3] wygląda na dość skomplikowany, więc resztę obliczeń przeprowadzę w przybliżeniu dla małych kątów:
Niech α i β będą mniejsze niż 10 stopni. Możemy teraz z dobrym przybliżeniem (błąd w granicach 1%) zamiast atan(x) stosować po prostu x. Teraz mamy:
R = (a/x) / (b/ (x+d)) = a(x + d) / bx = ax/bx + ad/bx = a/b + (a/b)*(d/x)
Korzystając z [1] wychodzi nam ostateczny wzór na proporcje pozorne dla małych kątów:
R = P*(1 + d/x).
Należy teraz przypomnieć założenie, że a < b (P<1).
W przypadku Yavina IV i Yavina Prime P ~= 1/20.
Mnożąc 1/20 przez cokolwiek większego od 1 zawsze dostaniemy coś większego, niż 1/20 (nigdy np. 1/75). Dlaczego?
Skoro d i x są liczbami dodatnimi (bo wyrażają niezerowe odległości) to widzimy, że pozorne proporcje nigdy nie będą mniejsze, niż rzeczywiste, o ile nie zmieniamy ułożenia względnego obiektów. Gdyby np. d było ujemne, czyli obiekt B był przed obiektem A (bliżej obiektywu) to byłoby to możliwe, ale wtedy nie otrzymalibyśmy zdjęcia z pierwszego posta.
Dowód można uogólnić na kąty większe, niż 10 stopni, ale od razu uprzedzam, że rachunki będą bardziej skomplikowane, mniej zrozumiałe, a wynik wyjdzie ten sam, bo uproszczenie małokątowe nie zmienia monotoniczności funkcji atan dla dodatnich argumentów.